الذكاء الاصطناعي يساعد رياضيا على إسقاط حدسية عمرها 87 عاما بمثال صغير
في تطور لافت يكشف عن الدور المتزايد للذكاء الاصطناعي في البحث الرياضي، تمكن عالم الرياضيات ليفنت ألبوغه من العثور، بمساعدة نموذج للذكاء الاصطناعي، على مثال مضاد لنسخة من حدسية جاكوبيان، وهي واحدة من المسائل الشهيرة التي ظلت مفتوحة منذ عام 1939.
وتتعلق الحدسية بفئة من الدوال الرياضية المبنية من كثيرات الحدود، وتطرح سؤالا عميقا حول إمكانية عكس هذه الدوال واستعادة المدخلات الأصلية من مخرجاتها. ورغم بساطة الفكرة عند تبسيطها، فإن إثباتها أو العثور على حالة تخالفها ظل تحديا للرياضيين لعقود طويلة.
ما حدسية جاكوبيان؟
طرحت حدسية جاكوبيان لأول مرة في عام 1939، وتتمحور حول الدوال متعددة المتغيرات التي تتكون من كثيرات الحدود. ويمكن تبسيط فكرتها من خلال تخيل دالة رياضية على أنها آلة تستقبل مجموعة من الأرقام ثم تحولها إلى مجموعة أخرى.
إذا كانت هذه الآلة قابلة للعكس، فيمكننا النظر إلى النتائج النهائية ومعرفة المدخلات التي أنتجتها. لكن المشكلة تظهر عندما تحول الدالة مدخلات مختلفة إلى النتيجة نفسها، إذ يصبح من المستحيل تحديد نقطة البداية اعتمادا على الناتج وحده.
وتفترض حدسية جاكوبيان، بصورة مبسطة، أن دالة كثيرة الحدود التي يكون محدد جاكوبيان الخاص بها ثابتا وغير صفري يجب أن تكون قابلة للعكس، في ظروف المسألة المقصودة.
ومحدد جاكوبيان هو أداة رياضية تصف كيفية تغير الدالة محليا عند تحويل مجموعة من المتغيرات إلى مجموعة أخرى. ويمكن تشبيه ثباته وعدم مساواته للصفر بشرط يشير إلى أن التحويل لا يفقد المعلومات محليا بطريقة مباشرة.
مثال صغير يسبب مشكلة كبيرة
في يوليو/تموز 2026، أعلن ألبوغه أنه استخدم نموذجا للذكاء الاصطناعي يحمل اسم “كلود فابل 5” للبحث عن مثال مضاد في ثلاثة أبعاد.
والنتيجة كانت دالة قصيرة نسبيا، لكنها تحمل خاصية حاسمة: محدد جاكوبيان فيها ثابت ويساوي سالب 2، ومع ذلك فإن الدالة ليست قابلة للعكس.
وتكمن المشكلة في أن الدالة تستطيع إرسال نقاط مختلفة إلى النقطة نفسها. فإذا كانت هناك عدة مدخلات تنتج المخرج ذاته، فلا يمكن عكس العملية بصورة وحيدة، حتى وإن تحقق الشرط المتعلق بمحدد جاكوبيان.
وهذا النوع من النتائج يمثل ضربة مباشرة للادعاء الذي تفترضه الحدسية في الأبعاد التي ينطبق عليها المثال المضاد.
والأكثر إثارة أن المثال نفسه صغير بما يكفي لعرضه في منشور واحد على منصة إكس، وهو ما يوضح طبيعة بعض المشكلات الرياضية: قد يكون العثور على المثال المناسب أصعب بكثير من التحقق من أنه يمثل بالفعل حالة مخالفة.
الذكاء الاصطناعي لم يكتب البرهان بدلا من الرياضي
لا تعني النتيجة أن نموذج الذكاء الاصطناعي حل المسألة بمفرده أو قدم نظرية رياضية كاملة من تلقاء نفسه.
الدور الأهم للنموذج كان البحث عن بنية رياضية غير متوقعة داخل فضاء هائل من الاحتمالات. وبعد العثور على المرشح، يبقى على عالم الرياضيات فحصه والتحقق من خصائصه وإثبات أن الحسابات صحيحة وأن المثال يحقق بالفعل الشروط المطلوبة.
وهذه نقطة مهمة في فهم الطريقة الجديدة التي يمكن أن يدخل بها الذكاء الاصطناعي إلى البحث الرياضي. ففي كثير من الأحيان لا تكمن الصعوبة في كتابة البرهان بعد معرفة الفكرة، وإنما في اكتشاف الشيء الذي ينبغي إثباته أصلا.
ومن هذا المنظور، يمكن أن يصبح الذكاء الاصطناعي أداة للبحث والاستكشاف، تساعد الرياضيين على العثور على أمثلة مضادة، وأنماط غير مألوفة، وتخمينات جديدة يمكن للبشر بعد ذلك دراستها وإثباتها.
أمثلة جديدة في أبعاد أعلى
لم تتوقف القصة عند المثال الأول. ففي 31 يوليو/تموز، نشر عالم الرياضيات شوهونغ غاو ورقة بحثية أولية على منصة “أركايف”، قدم فيها بناءات أخرى مرتبطة بالفكرة.
وتشير النتائج التي عرضها إلى إمكانية إنتاج أمثلة مضادة مماثلة في جميع الأبعاد الأكبر من اثنين، كما قدم تفسيرا هندسيا للآلية التي تؤدي إلى فقدان قابلية العكس.
وهذا التوسع مهم لأنه يحول النتيجة من مثال منفرد إلى ظاهرة رياضية يمكن دراستها بصورة أوسع.
لكن الحدسية لم تسقط بالكامل
رغم العنوان المثير، فإن القول إن “حدسية جاكوبيان انتهت” يحتاج إلى قدر كبير من الدقة.
فالمثال الجديد يتعلق بالحالة ذات الثلاثة أبعاد، بينما لا تزال النسخة الخاصة ببعدين مفتوحة. ولذلك لم يقدم الاكتشاف حلا نهائيا لجميع جوانب المشكلة.
وتظل الحالة الثنائية الأبعاد تحديا مستقلا، رغم وجود نتائج سابقة أثبتت صحة الحدسية في فئات واسعة من الدوال، بما في ذلك حالات تتعلق بكثيرات حدود ذات درجات مرتفعة.
وبالتالي فإن النتيجة الأهم هي أنها أظهرت أن الفرضية العامة لا يمكن أن تبقى صحيحة بالطريقة التي كان يمكن تصورها في الأبعاد الأعلى، لكنها لم تغلق الملف التاريخي بالكامل.
لماذا تعد النتيجة مهمة للرياضيات؟
تكشف هذه القضية عن تحول محتمل في طبيعة العلاقة بين الذكاء الاصطناعي والرياضيات.
فالاستخدام التقليدي للحواسيب في الرياضيات يعتمد غالبا على تنفيذ الحسابات بسرعة كبيرة، بينما يمكن للنماذج الحديثة أن تساعد في استكشاف فضاء من الأفكار والاحتمالات واقتراح تراكيب ربما لا تكون واضحة للباحث البشري.
وفي حالة حدسية جاكوبيان، لم تكن القيمة الأساسية في أن الآلة نفذت عملية حسابية معقدة بسرعة، بل في قدرتها على البحث عن تركيب يحقق مجموعة شديدة الخصوصية من الشروط، ثم لفت انتباه الباحث إلى مثال يمكن اختباره رياضيا.
وقد يفتح ذلك الباب أمام استخدام الذكاء الاصطناعي لاكتشاف أمثلة مضادة لمسائل رياضية أخرى، أو اقتراح تخمينات جديدة، أو تحديد أنماط خفية داخل هياكل رياضية ضخمة.
ما الذي لا نعرفه بعد؟
رغم أهمية الاكتشاف، لا تزال هناك أسئلة حول التفاصيل الدقيقة للطريقة التي اتبعها نموذج الذكاء الاصطناعي للوصول إلى المثال.
كما أن بعض النتائج اللاحقة المتعلقة بتعميم الفكرة منشورة حاليا في صورة ورقة أولية غير محكمة، ولذلك ينبغي التعامل معها باعتبارها نتائج بحثية قيد الفحص إلى أن تخضع للمراجعة العلمية الكاملة.
ومع ذلك، فإن القضية تقدم مثالا واضحا على اتجاه قد يصبح أكثر أهمية خلال السنوات المقبلة: بدلا من أن يقتصر دور الذكاء الاصطناعي على إجراء الحسابات أو كتابة البرمجيات الرياضية، يمكن أن يصبح شريكا استكشافيا يساعد الباحثين على العثور على الأمثلة النادرة التي تغير مسار البحث نفسه.
